यदि $\frac{z - \alpha}{z + \alpha}$ (जहाँ $\alpha \in R$) एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है और $|z| = 2$ है,तो $\alpha$ का एक मान है

यदि सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}, {z_2}, \text{और } {z_3}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A, B, \text{और } C$ को दर्शाती हैं,जिसमें $\angle C$ एक समकोण है,तो सही कथन है:

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। मान लीजिए $z_1 = 1 + 2i$ और $z_2 = 3i$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। मान लीजिए $S = \{(x, y) \in R \times R : |x + iy - z_1| = 2|x + iy - z_2|\}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) S$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$ है।
$(B) S$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right)$ है।
$(C) S$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $\frac{\sqrt{2}}{3}$ है।
$(D) S$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।

मान लीजिए $a, b \in \mathbb{R}$ और $a^2+b^2 \neq 0$ है। मान लीजिए $S = \{z \in \mathbb{C} : z = \frac{1}{a+ibt}, t \in \mathbb{R}, t \neq 0\}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। यदि $z = x+iy$ और $z \in S$ है,तो $(x, y)$ कहाँ स्थित है:

मान लीजिए $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z-5| \le 3$ को संतुष्ट करती है और जिसका मुख्य कोणांक अधिकतम धनात्मक है। तब $34|\frac{5z-12}{5iz+16}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

समुच्चय $\{z \in \mathbb{C} : \arg \left(\frac{z-2}{z-6i}\right) = \frac{\pi}{2}\}$ (जहाँ $\mathbb{C}$ सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है) के बिंदु जिस वक्र पर स्थित हैं,वह है